微積分 - 求不定積分 $$\int \:tanxdx$$ Integral of tan x dx
$$\int \:tanxdx$$ $$=\int \frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}dx$$ 积分换元法定义 $$\int \:f\left(g\left(x\right)\right)\cdot \:g'\left(x\right)dx=\int \:f\left(u\right)du,\:\quad \:u=g\left(x\right)$$ 令$$u=\cos \left(x\right)$$ 那麽$$\int \frac{\sin \left(x\right)}{u}dx$$ $$\color{red} \int \frac{1}{u} \sin \left(x\right)dx$$ 我們知道$$(\cos x)'=-\sin x$$ 所以兩邊給同時加d $$du=-\sin \left(x\right)dx$$ 可得到 $$\color{blue}dx=\left(-\frac{1}{\sin \left(x\right)}\right)du$$ 帶入之前的 $$\color{red} \int \frac{1}{u} \sin \left(x\right) \color{blue}dx$$ 得到 $$=\int \:-\frac{1}{u}du$$ 因爲 $$\:\int \frac{1}{u}du=\ln \left(\left|u\right|\right)$$ 所以 $$=-\ln \left|u\right|$$ $$=-\ln \left|\cos \left(x\right)\right|+C$$ 需要注意的是： $$\int \: 不定積分$$其實就是求被求導之前的原函數， 比如 $$\color{red}(ln|x|)'=\frac{1}{x}→\:\int \frac{1}{x}dx=\ln \left(\left|x\right|\right)$$ 就是按照這個公式來的。 你別忘了，不定積分符合后 到 d之前，這個部分，代表是斜率。 比如 $$\int \: kdx=kx+C$$ 這裏的k是由原始函數kx+C得到的 不定積分相關公式： https://www.v2know.com/MainPage/PreView/840