微積分 - 求不定積分 $$\int \:tanxdx$$ Integral of tan x dx

$$\int \:tanxdx$$

$$=\int \frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}dx$$

积分换元法定义

$$\int \:f\left(g\left(x\right)\right)\cdot \:g'\left(x\right)dx=\int \:f\left(u\right)du,\:\quad \:u=g\left(x\right)$$

令$$u=\cos \left(x\right)$$

那麽$$\int \frac{\sin \left(x\right)}{u}dx$$

$$\color{red} \int \frac{1}{u} \sin \left(x\right)dx$$

我們知道$$(\cos x)'=-\sin x$$

所以兩邊給同時加d

$$du=-\sin \left(x\right)dx$$

可得到

$$\color{blue}dx=\left(-\frac{1}{\sin \left(x\right)}\right)du$$

帶入之前的

$$\color{red} \int \frac{1}{u} \sin \left(x\right) \color{blue}dx$$

得到

$$=\int \:-\frac{1}{u}du$$

因爲

$$\:\int \frac{1}{u}du=\ln \left(\left|u\right|\right)$$

所以

$$=-\ln \left|u\right|$$

$$=-\ln \left|\cos \left(x\right)\right|+C$$

需要注意的是：

$$\int \: 不定積分$$其實就是求被求導之前的原函數，

比如

$$\color{red}(ln|x|)'=\frac{1}{x}→\:\int \frac{1}{x}dx=\ln \left(\left|x\right|\right)$$

就是按照這個公式來的。

你別忘了，不定積分符合后到 d之前，這個部分，代表是斜率。

比如

$$\int \: kdx=kx+C$$

這裏的k是由原始函數kx+C得到的