微積分 - 求不定積分 $$\int \:tanxdx$$ Integral of tan x dx
$$\int \:tanxdx$$
积分换元法定义
$$\int \:f\left(g\left(x\right)\right)\cdot \:g'\left(x\right)dx=\int \:f\left(u\right)du,\:\quad \:u=g\left(x\right)$$
令$$u=\cos \left(x\right)$$
那麽$$\int \frac{\sin \left(x\right)}{u}dx$$
$$\color{red} \int \frac{1}{u} \sin \left(x\right)dx$$
我們知道$$(\cos x)'=-\sin x$$
所以兩邊給同時加d
$$du=-\sin \left(x\right)dx$$
可得到
$$\color{blue}dx=\left(-\frac{1}{\sin \left(x\right)}\right)du$$
帶入之前的
$$\color{red} \int \frac{1}{u} \sin \left(x\right) \color{blue}dx$$
得到
$$=\int \:-\frac{1}{u}du$$
因爲
$$\:\int \frac{1}{u}du=\ln \left(\left|u\right|\right)$$
所以
$$=-\ln \left|u\right|$$
$$=-\ln \left|\cos \left(x\right)\right|+C$$
需要注意的是:
$$\int \: 不定積分$$其實就是求被求導之前的原函數,
比如
$$\color{red}(ln|x|)'=\frac{1}{x}→\:\int \frac{1}{x}dx=\ln \left(\left|x\right|\right)$$
就是按照這個公式來的。
你別忘了,不定積分符合后 到 d之前,這個部分,代表是斜率。
比如
$$\int \: kdx=kx+C$$
這裏的k是由原始函數kx+C得到的
不定積分相關公式:https://www.v2know.com/MainPage/PreView/840
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